岩石のクリープ試験におけるサーボ試験機の制御特性
4.岩石の非線形モデルによる検討

4.1 基礎式

前節では、線形自動制御理論により、制御性について定性的に判断してきたが、実際の制御系において、三次クリープ領域でも変位速度があまり大きくない時には安定な挙動を示す。よって以下では、三次クリープ領域について、岩石の力学的挙動の非線形性も考慮した計算機シミュレーションを行って、制御限界を定量的に検討してみる。図1に示す制御系を微分方程式の形で示すと以下のようになる。

=0.5(E−F)/ζ
0.5(dQ/dt)/ζ+Q=I
dY/dt=Q−Λ(dF/dt

岩石の構成方程式として、以下に示される式(大久保ら,1987)を用いる。

dλ/dt=a(F(λ ・・・(3)
=λ・F

ただし、
=t・ωn
a=1/{(m−1)・t

で、tは荷重が常に設定したクリープ荷重に保たれる理想的な試験機でクリープ試験を行った場合の破壊寿命tにωnを掛けたものである。理想的な試験機を用いたとすると、(3)式の構成方程式の変位速度と経過時間tの関係は次のようになる。

dY/dt=1/(m−1)・(t1/(m−1)・(t−t−m/(m−1) ・・・(4)

ここで、t−tを残存寿命Tと定義する(大久保・西松,1986)。

=t−t  ・・・(5)

この残存寿命は、破壊までの時間を表している。(5)式を(4)式に代入すると、次のようになる。

dY/dt=1/(m−1)・(t1/(m−1)・(T−m/(m−1) ・・・(6)

通常、硬岩では、m>>1であるので、(6)式より変位速度と残存寿命は両対数グラフ上で傾きがほぼ−1の直線となり、実験結果で得られた関係と一致している(大久保・西松,1986;福井ら,1989)。

4.2 三次クリープにおける制御限界

前節で示した式に基づいてシミュレーションするにあたり、考慮すべきパラメータとしては、岩石の特性に関わるものn,m,試験機の特性に関わるものΛ,ζ、の他tがある。tの中には、クリープ応力と試験機系の固有円振動数ωnの影響が含まれている。サーボ試験機によってクリープ試験を行った場合、何をもって制御限界とするかには、種々の選択枝があるが、ここでは、実際の荷重が設定荷重に比べて2%低下した時をもって、制御限界とすることにして、議論を進める。

三次クリープ領域では、変位速度dY/dtが時間の経過とともに大きくなっていき、それにともなって、設定したクリープ荷重と実際の荷重との間の偏差が大きくなっていく。制御限界に達した時の変位速度を縦軸に、ζを横軸にとり、シミュレーション結果の一例を図4に示す。図より、減衰係数比ζが小さい程、またΛが大きい程、制御限界に達した時の変位速度が大きいことがわかる。三次クリープ領域では、残存寿命が小さくなるにつれて変位速度が大きくなるので、制御限界に達した時の変位速度が大きいと、残存寿命が小さい所すなわち破壊の直前まで信頼できる実験結果が得られる。この意味で、ζが小さくΛが大きい程、制御性が良いといえる。

サーボ試験機を用いた変位速度一定試験あるいは応力帰還制御試験では、Λが小さい程、従ってシリンダ内の油の剛性が高い程制御性の良いことが知られている(大久保ら,1988)。これは、強度破壊点以降の領域で岩石の負荷能力が急激に低下した時、Λが大きいと、油が膨脹し、試験片に余分な変位を与えてしまう為である。一方クリープ試験においては、試験機の応答性が追い付かない時、シリンダ内の油が膨脹して補う。その程度は、Λが大きい程大きい。しばしば試験片に比べて充分コンプライアンスの大きいばねによってクリープ荷重を与えた試験が行われること(下村・高多,1951)からも、シリンダ内の油の剛性も含め試験機剛性の小さい方がクリープ試験には有利と言えることがわかろう。

各パラメータを、5<n<90,5<m<100,0.01<Λ<1,0.1<ζ<1,10<t<1013の範囲で変えてシミュレーションを行った結果、次の事項がわかった。

1)tの制御性に及ぼす影響は小さい。
2)nが小さい程、若干制御性が良くなるが、その程度は小さい。
3)mがnとほぼ同じ値を取る時、最も制御性が良い。通常の岩石の場合、nとmの差は、±15程度の範囲に収まることが多い(大久保ら,1987)が、この範囲内では、制御性に及ぼすmの影響は小さい。

結局、今回行ったシミュレーションの範囲内では、ζとΛの影響が顕著であり、図4に示したように、ζが小さい程、またΛが大きい程、制御限界に達した時の変位速度が大きいことがわかった。

4.3 三次クリープ領域における変位速度と残存寿命の関係

理想的な試験機を用いた時の変位速度と残存寿命との関係は、(6)式で表されるが、実際の試験機ではどのようになるかを上記のシミュレーションによって調べてみる。

図5に、実際の試験機を想定したシミュレーションにより求めた変位速度−残存寿命曲線を示す。図には、(6)式で示される理想的な試験機を用いた時の変位速度−残存寿命曲線も示している。図の横軸の残存寿命は、理想的な試験機を用いた場合における破壊寿命tを用いて計算した。図5(a)はクラスT岩石、(b)はクラスU岩石の例である。図5より、無次元化した残存寿命Tが10より大きい所では、実際の試験機を用いた場合と理想的な試験機を用いた場合とは、ほぼ一致していることがわかる。このことは、残存寿命が10になる迄は、荷重がほとんど低下していないことも間接的に表している。実際にT=10の時の応力低下は、0.2%程度であり、残存寿命が小さくなるにつれて、理想的な試験機に比べて実際の試験機では、変位速度が小さくなっている。この原因は、変位速度が大きくなり、サーボ試験機が追従できず、荷重が低下することにより起こると考えられる。

ここまでは、理想的な試験機を用いた場合における破壊時刻を用いて、残存寿命を決定してきた。しかし、実際の試験機では、荷重が低下することにより、破壊時刻が遅れる。よって、実験により得られる残存寿命は、この遅れの分だけ大きくなってしまう。また、(6)式では、変位速度が無限大となる時刻を破壊時刻とした。しかし、実際の試験機では、変位速度が無限大になることはないので、何らかの基準により、破壊時刻を決定する必要がある。何をもって破壊時刻とするかには、種々の選択枝があるが、ここでは岩石のコンプライアンスが初期値の2倍となった時とし、この時点を残存寿命の原点として、以下の議論を進める。

新しく定義した残存寿命を用いて、図5の結果を書き換えたのが図6のシミュレーション結果である。図には、比較のため図5に示した理想的な試験機を用いた時の変位速度−残存寿命曲線も示した。図6(b)に示したクラスU岩石の場合には、理想的な試験機を用いた場合と現実の試験機を対象としたシミュレーション結果との差が小さいことがわかる。他方、図6(a)に示したクラスT岩石の場合には、かなり差が大きいことがわかる。図6より、クラスT,Uにより、差はかなりあるが、両者とも残存寿命が大きい所では、実際の試験機の方が、変位速度が大きく、残存寿命が小さい所では逆に小さくなっている。

前述したように、三次クリープ領域で変位速度が大きくなって行くと、やがてサーボ試験機の応答速度が追い付かなくなり、荷重が設定値より次第に下がってゆく。クラスU岩石の場合には、一旦破壊が進みだすと、急激に破壊が進行し、多少の応力低下は、変位速度と残存寿命の関係に重大な影響を及ぼさないようである。一方、クラスT岩石では、応力が低下すると、その結果としてコンプライアンスが初期値の2倍となるまでの時間がかなり長くなるものと考えられる。以上の原因によって、図6に示した結果が得られるものと思われる。よって、三次クリープにおける変位速度ー残存寿命を得るにあたり、クラスU岩石の方がクラスT岩石より、有利であるとも言えよう。この結果は、サーボ試験機を用いた応力帰還制御では、クラスT岩石の方が、制御性が良いこと(大久保ら,1988)と反対であり興味深い。

前節では、制御限界として荷重が2%低下した時とした。荷重が2%低下した時点を、図6に黒丸で示した。これよりわかるように、クラスU岩石では問題ないが、他方、図6(a)のクラスT岩石では、変位速度−残存寿命曲線において、この制御限界を適用すると理想的な試験機を使用した場合と若干異なる結果が得られる可能性がある。よって、クラスT岩石の場合、得られたデータの解釈には充分な注意を払う必要があると思われる。

4.4 実験結果との比較

今までは、シミュレーションにより検討を行ってきたが、実験において成り立つかどうかを調べるため、三城目安山岩、河津凝灰岩、稲田花こう岩を用い、クリープ試験を行った。試験片寸法は直径2.4cm、高さ5.2cmである。実験装置としては、デジタル制御方式のサーボ試験機を用いた。詳しくは既報(大久保ら,1988)を参照されたい。実際の荷重が設定荷重に比べて2%低下した時の変位速度を図4に示した。図より、実験結果とシミュレーション結果とはほぼ一致していることがわかる。2%荷重が低下した時の歪速度は、三城目安山岩、河津凝灰岩、稲田花こう岩でそれぞれ1.6×10−3,4.7×10−4,3.5×10−4−1程度であり、残存寿命では、0.005〜0.1s程度となり、かなり歪速度が大きくなっている所まで、サーボ試験機が追従していることがわかる。サーボ試験機の設定ゲイン等により、制御限界となる変位速度が変化することが、図4よりわかるが、現在市販されている岩石用サーボ試験機において通常の設定を行えば、多くの場合、制御限界となる歪速度は、10−5−1以上になると思われる。一方、著者らは、ここで挙げた以外にもクリープ試験を行ってきており、歪速度が10−5−1の時、残存寿命は1s程度であるという知見を得ている(大久保・西松,1986;福井ら,1989)。よって、かなり余裕を見込んで残存寿命が1sまではデータとして信頼できうると思われる。

以上の議論では、制御限界として、実際の荷重が設定荷重に比べて2%低下した時とした。この数字を1,5,10%にすると、図4に示した2%の場合に比べて、縦軸の変位速度は大ざっぱに0.5,2,4倍程度になることがシミュレーション結果からわかっている。よって、データの使用目的等により、制御限界を2%以外に設定した時にも図4は、利用できる。